Psikologi Perkembangan

Psikologi Kepribadian

Psikologi Pendidikan

Recent Posts

Konsep dan Contoh Soal Distribusi Normal dan Z Score

Konsep dan Contoh Soal Distribusi Normal dan Z Score - Artikel ini akan membahas mengenai distribusi normal dan Z Score. Melalui artikel ini diharapkan dapat memperoleh pemahaman tentang Konsep Distribusi Normal Dan Z Score.

Apa itu Distribusi Normal?

Distribusi normal adalah distribusi data yang jika diterjemaahkan menjadi grafik ditandai oleh bentuk seperti lonceng yang sempurna.

Konsep dan Contoh Soal Distribusi Normal dan Z Score_
image source: bestmaths.net
baca juga: Memahami Pengertian Kuartil, Desil, Persentil dan Contoh Soal

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu.


Secara Matematis dinyatakan dengan rumus:


π dan e adalah nilai konstan (π = 3.1416 dan e = 2.7183)
μ adalah rata-rata dan σ adalah standar deviasi

Mengapa mempelajari Distribusi Normal?

Kebanyakan variabel dependen (dependent variabel) diukur dan dianalisa dengan asumsi variabel tersebut memiliki distribusi normal. Dengan mengetahui distribusi normal, dapat diketahui posisi suatu nilai dalam data. Permasalahan pada data hasil pengukuran dapat diketahui dengan membandingkan data keseluruhan dengan kurva distribusi normal

Penggunaan Tabel Kurve Normal:  Z Score

Z score menunjukkan jumlah nilai/skor di bawah atau di atas rata-rata yang didapat berdasarkan Standard Deviasi. Rumus Z-score:


X = nilai atau skor
M = Mean atau rata-rata
SD = standard deviasi

I. Untuk menentukan persentase/frekuensi/proporsi dari kasus dalam suatu penyebaran normal yang dibatasi oleh skor tertentu.

CONTOH SOAL

Diketahui : X = 12 ; SD = 14 ; N = 100

Ditanya :
  1. Berapa % kasus terletak antara 8 & 16?
  2. Berapa % kasus terdapat di atas 18?
  3. Berapa % kasus terdapat di bawah 6?

Jawab:


X1 = 16 à Z1 = 16 – 12 = +1
                                                                                    4

X2 = 8 à Z2 = 8 – 12 = -1
                                                                                    4

Lihat tabel Z à  Z = +1 atau -1 (dari Mean) adalah 34,13

Jadi yang mendapat skor di antara 8 & 16 =
2 x 34,13 = 68,26% x 100 orang = 68 orang


Skor (X) = 18
Z = (18 – 12) / 4 = 6/4 = 1.50
Lihat Tabel Z (Mean to Z)à Z = 1.50  6.68%

Jadi yang mendapat nilai di atas skor 18 =
6.68% x 100 orang = 6-7 orang


Skor (X) = 6
Z = (6 – 12) / 4 = -1.50
Lihat Tabel Z (Mean to Z) à Z = -1,50 à C = 6,68%

Jadi yang mendapat nilai di bawah skor 6 =
6.68% x 100 orang = atau 6-7 orang

II. Untuk menentukan batas-batas skor dalam penyebaran normal yang mencakup suatu persentase tertentu dari kasus

CONTOH SOAL

Diketahui : X = 16 ; SD = 4
Ditanya : Berapakah batas-batas skor yang mencakup 75% di tengah seluruh kasus ?


                        75% / 2 = 37,2 %

Dari tabel Z (mean to Z) à  37.5 % à Z = 1,15
                      
                        Z = (X – X) / SD
                  1,15 = (X – 16) / 4
                     4,6 = X – 16
                          X = 16 ± 4,6

Jadi skor yang membatasi 75% kasus yang terletak di tengah distribusi data
                         = 11,4 – 20,6


III. Untuk membagi suatu kelompok besar menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil
CONTOH SOAL

Diketahui :
UMPTN diikuti oleh 100 orang, ingin dikelompokkan menjadi 5 kelompok yang sama (ABCDE)

Ditanya : Berapa orang dalam setiap kelompok?
Catatan:
Z maks = +3 dan Z minimum = -3 è
tiap kelompok memiliki Z = (3 + 3)/ 5 kelompok = 6/12 = 1,2

Tiap kelompok memiliki Z = 1,2


  • C = (-0,6) – (+0,6) à lihat tabel Z (mean to Z) =
                                                46,41% - 22,57% = 45,14% x 100 orang = 45 orang

  • B dan D à (±1,8) – (±0,6) à lihat tabel Z (mean to Z) =
                                                46,41% - 22.57% = 23,84% x 100 orang = 24 orang

  • A dan E à 3 – 1,8 à lihat tabel Z (mean to Z) =
                                          49,87% - 46.41% = 3.46% x 100 orang = 3-4 orang


IV. Untuk membandingkan 2 distrubusi yang overlapping
CONTOH SOAL

Dari tes ingatan yang diikuti oleh 300 anak laki-laki dan 250 anak perempuan

Diketahui :
Mean = 21.49                                                       Mean ♀ = 23.68
SD = 3.63                                                              SD ♀ = 5.12                        
Median = 21.41                                                    Median ♀ = 23.66

Ditanya : berapa % berada di atas Median ♀ ?

Jawab:
Me ♀ = 23,66 – 21,49 = 2,17 skor unit di atas Mean
atau Z = 2,17 / 3,63 = 0,60 di atas Mean

Dari tabel Z (mean to Z) à Z = 60 à C = 27,43%
                                                                         = 27,43 x 300 = 82.29
                                                                         à 82 atau 83 orang


LATIHAN
  1. Dalam suatu majalah olahraga dilaporkan bahwa dari penelitian terhadap 300 olahragawan lompat tinggi diperoleh data: Mean = 160cm; SD = 13
    - Berapa banyaknya orang yang dapat meloncat setinggi 180 cm ?
    - Berapa jumlah orang yang dapat meloncat setinggi 170cm – 190cm?
    - Mereka yang didiskualifikasikan dalam golongan 10% peloncat tinggi, dapat meloncat berapa cm ?
    - Berapa tinggi loncatan yang hanya dapat dicapai 5% dari kelompok itu?
    - Berapa banyaknya orang yang dapat meloncat setinggi 130cm -150cm?
    - Berapa proporsi orang yang dapat meloncat setinggi 147cm?
    - Berapa proporsi orang yang tidak dapat meloncat setinggi 140 cm ?
  1. 100 orang mahasiswa yang mengikuti ujian penerimaan pegawai, ingin dikelompokkan menjadi 6 kelompok yang sama berdasarkan kurva normal: ABCDEF Ditanya : Berapa orang dalam setiap kelompok?
  2. Dari tes yang diikuti oleh 500 anak laki-laki dan 500 anak perempuan.
Diketahui :
Mean ♂ = 65                                                       Mean ♀ = 70
SD ♂ = 4                                                              SD ♀ = 5
Median ♂ = 50                                                    Median ♀ = 50
Ditanya : berapa jumlah ♀ berada di atas Median ♂ ?

Sekian artikel tentang Konsep dan Contoh Soal Distribusi Normal dan Z Score. Semoga beranfaat.

Daftar Pustaka

  • Howell, D.C. 2012. Statistical Method for Psychology.
  • Gravetter, F.J. & Wallnau, L.B. 2009. Statistics for        the Behavioral Sciences

Memahami Pengertian Kuartil, Desil, Persentil dan Contoh Soal

Memahami Pengertian Kuartil, Desil, Persentil dan Contoh Soal - Artikel ini membahas mengenai kuartil, desil, persentil, dan jenjang persentil. Melalui artikel ini diharapkan dapat memperoleh pemahaman tentang pengertian kuartil, desil, persentil, dan, jenjang persentil; Cara menentukan Kuartil, Desil, Persentil, dan, Jenjang Persentil dari suatu distribusi; Penggunaan Kuartil, Desil, Persentil, dan Jenjang Persentil sebagai alat pembuatan klasifikasi.

Kuartil, Desil, Persentil dan Jenjang Persentil

Kuartil, Desil, Persentil dan Jenjang Persentil: Kategorisasi Berdasarkan Proposi

Kadang-kadang kita perlu membuat klasifikasi atau pengelompokan data menjadi beberapa klasifikasi dengan jumlah atau proporsi yang sama pada tiap klasifikasi (misal: menjadi dua, empat, sepuluh, atau bahkan seratus klasifikasi), maka untuk keperluan itulah, maka statistika menyediakan  kuartil, desil, persentil, dan, jenjang persentil.

Memahami Pengertian Kuartil, Desil, Persentil dan Contoh Soal_
image source: www.youtube.com
baca juga: Memahami Macam Ukuran Variabilitas dan Cara Menentukannya

KUARTIL

Jika akan membagi suatu distribusi menjadi empat bagian sama banyak (masing-masing seperempat bagian), maka kita harus menggunakan kuartil (K):  kuartil pertama (K1), kuartil kedua (K2), dan kuartil ketiga (K3).

Kuartil pertama membatasi 25% frekuensi distribusi di bagian bawah dan 75% frekuensi distribusi di bagian atas. Kuartil kedua (K2) membatasi 50% frekuensi distribusi bagian dibawah dan 50% frekuensi distribusi di bagian atas. Kuartil ketiga mambatasi 75% frekuensi dibagian bawah dan 25% frekuensi distribusi di bagian atas.


Untuk menentukan nilai Kuartil, dapat dipergunakan rumus sebagai berikut:


Tahapan-tahapan untung menghitung nilai kuartil dapan dilakukan dengan:
  • Tentukan ¼ N
  • Cari angka terdekat dari ¼ N
  • Cari interval kelas yang mengandung fk (interval yang mengandung mean)
  • Tentukan fkb (bilangan yang tepat di bawah fk dan mengandung K1
  • Masukkan semua angka ke dalam rumus

CONTOH:



DESIL DAN PERSENTIL

Penentuan dan penggunaan desil dan persentil hampir sama dengan kuartil. Perbedaannya, kuartil digunakan untuk membagi distribusi menjadi empat bagian, sedangkan desil digunakan untuk membagi distribusi menjadi sepuluh bagian, dan persentil digunakan untuk membagi distribusi menjadi seratus bagian.

Rumus yang dapat digunakan untuk menentukan Desil dan Persentil yaitu:


Tahapan menentukan Desil yaitu:
  1. Hitung (n/10) N 
  2. Cari angka pada kolom fk yang terdekat dengan (n/10) N; tetapi tidak boleh kurang dari (n/10) N 
  3. Cari interval kelas pada kolom nilai yang mempunyai fk 
  4. Tentukan Bbny dari interval kelas yang mempunyai fk. 
  5. Cari f dari interval kelas yang mempunyai fk 
  6. Cari fkb, yaitu angka pada kolom fk yang tepat berada dibawahnya 
  7. Tentukan i 
  8. Masukkan ke dalam rumus 


CONTOH:



Tahapan menentukan Persentil:
  1. Hitung  (n/100) N
  2. Cari angka terdekat dengan (n/100) N pada kolom fk
  3. Cari interval kelas pada kolom nilai, yang mempunyai nilai fk tersebut
  4. Tentukan Bbny dari interval kelas tersebut
  5. Cari f dari interval kelas tersebut
  6. Cari fkb,yaitu angka pada kolom fk yang berada tepat dibawahnya.
  7. Tentukan I
  8. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus

CONTOH:



Kalau kita ingin mengetahui kedudukan suatu skor dalam suatu distribusi frekuensi, kita menggunakan persentase kumulatif atau percentil.

JENJANG PERSENTIL (percentil rank)

Dalam perlombaan biasanya kita memberi jenjang nomor satu atau jenjang ke satu, pada individu yang memperoleh sekor tertinggi, pada individu yang memperoleh sekor tertinggi berikutnya diberi jenjang kedua, dan seterusnya. Cara memberi jenjang semacam ini disebut jenjang menurut angka atau singkatnya jenjang angka (numerical rank).

Di samping jenjang angka cara lain, yang sering digunakan dalam statistika adalah jenjang menurut persentil atau singkatnya jenjang persentil (percentil rank) dan disingkat JP.
Jenjang persentil dapat dihitung dengan menggunakan rumus:


JP           = Jenjang persentil yang kita hitung
X             = Suatu nilai (yang diketahui) yang akan dihitung jenjang 
                   persentilnya
Bbny       = Batas bawah nyata dari interval kelas yang   mengandung X
f                =  Frekuensi dari kelas yang mengandung X
fkb            = Frekuensi kumulatif dibawah interval kelas yang
                      mengandung X.
N              = Cacah data (jumlah frekuensi dalam distribusi).

CONTOH:

Nilai f Fk
76 – 86 2 80
65 – 75 9 78
54 – 64 16 69
43 – 53 25 53
32 – 42 17 28
21 – 31 8 11
10 – 20 3 3
Σ 80 -


Video untuk Kuartil, Desil, dan Persentil


Sekian artikel tentang Memahami Pengertian Kuartil, Desil, Persentil dan Contoh Soal. Semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka

  • Howell, D.C. 2012. Statistical Method for Psychology.
  • Gravetter, F.J. & Wallnau, L.B. 2009. Statistics for the Behavioral Sciences
  • Nolan, S.A. & Heinzen, T.E, 2012. Statistics for the Behavioral Sciences. Second Edition.

Memahami Macam Ukuran Variabilitas dan Cara Menentukannya

Memahami Macam Ukuran Variabilitas dan Cara Menentukannya - Artikel ini akan membahas mengenai jangkauan total, jangkauan interkuartil, jangkauan semi interkuartil, mean deviasi, standard deviasi, varians, z-score, dan koefisien varians. Melalui artikel ini diharapkan dapat memahami berbagai macam ukuran variabilitas dan cara menentukannya.

Variabilitas

Dalam analisa statistika, informasi yang didapat melalui pengukuran tendensi sentral saja tidak cukup, karena tidak memberi informasi tentang sampel yang kita ukur secara menyeluruh. Tendensi sentral hanya memberikan informasi tentang suatu nilai yang menjadi pusat dari nilai-nilai lainnya, tetapi tidak memberikan informasi seberapa jauh atau seberapa besar nilai-nilai dalam kelompok itu bervariasi. Sebagai ilustrasi, coba perhatikan ketiga kelompok data berikut:

A : 25  25  25  25  25  25  25  25  25
B : 21  23  23  24  25  26  26  27  30
C :   6  15  15  21  25  27  30  41  45

Ketiga kelompok data di atas memiliki Mean atau Rata-rata yang sama, tetapi memiliki karakteristik data yang berbeda. Kelompok data A sangat homogen, sementara kelompok data B lebih homogen dibanding data C. Lalu, untuk mendapatkan informasi yang lebih jelas, pengukuran apa yang harus dilakukan?
Memahami Macam Ukuran Variabilitas dan Cara Menentukannya_
image source: www.lumby.ca
baca juga: Memahami Pengertian dan Ukuran Tendensi Sentral dalam Statistika

Untuk memberikan gambaran ringkas yang memadai mengenai suatu distribusi data atau himpunan data, di samping dengan tendensi sentral juga diperlukan suatu ukuran variabilitas.

Variabilitas adalah derajat penyebaran nilai-nilai variabel dari tendensi sentralnya dalam suatu distribusi yang menunjukkan seberapa banyak nilai-nilai variabel itu berbeda dari tendensi sentralnya, atau seberapa jauh nilai-nilai varibel itu menyimpang dari tendensi sentralnya (terutama Mean atau Rata-rata). Pengukuran variabilitas akan memberikan gambaran variasi, jangkauan, serta heterogenitas-homogenitas dari pengukuran suatu kelompok (data).

BEBERAPA UKURAN VARIABILITAS

  1. Jangkauan Total (total range) atau Rentangan Total (range of measurement)
Jangkauan Total (JT) atau Rentangan  (R) adalah jarak dari data dengan nilai terendah sampai nilai tertinggi. Pengukuran JT atau RT dapat dilakukan dengan menggunakan rumus sederhana:
JT atau R = skor maksimum – skor minimum

Sebagai contoh, perhatikan ketiga kelompok data berikut ini:
A : 25  25  25  25  25  25  25  25  25
B : 21  23  23  24  25  26  26  27  30
C :   6  15  15  21  25  27  30  41  45

Tentukan  JT atau R!

JT atau R data A = 25 – 25 = 0
JT atau R data B = 30 – 21 = 9
JT atau R data C = 45 – 6 = 39

Pengukuran JT atau R relatif mudah dan cepat dihitung, tetapi tidak dapat diandalkan karena hanya berdasarkan nilai ekstrimnya saja. JT atau R mungkin memberikan gambaran yang salah tentang variabilitas, maka digunakan pengukuran Jangkauan semi interquartile (Q) yang memberikan informasi lebih baik dari JT atau R.

  1. Jangkauan semi interkuartil (Q)
Jangkauan semi interkuartil (Q) adalah distribusi data yang ditunjukkan dipotongnya di kedua ujungnya masing-masing 25%, yang terdapat di antara 3 titik Q1, Q2, dan Q3. Perhatikan ilustrasi di bawah ini untuk penjelasan letak Q di antara Q1, Q2, dan Q3.



Berdasarkan ilustrasi di atas, pengukuran jangkauan semi interquartile (Q) dapat dijelaskan dengan menggunakan rumus berikut:
         
Q = (Q3 – Q1)
        2

Q1 = kuartil pertama (P25)
Q2 = Median (P50)
Q3 = kuartil ketiga (P75)

  1. Jangkauan antar kuartil
Jangkauan antar kuartil dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

Jangkauan antar kuartil = Q3 – Q1

  1. Simpangan Rata-rata (Mean Deviation atau MD)
Simpangan Rata-rata (Mean Deviation atau MD) adalah rata-rata dari penyimpangan nilai-nilai variabel dari rata-rata kelompoknya. Dibandingkan dengan rentangan informasi yang didapat melalui MD lebih mantap sebagai ukuran variabilitas, karena  ditentukan berdasarkan seluruh nilai yang ada dalam kelompoknya, bukan hanya berdasar pada nilai-nilai ekstrim saja.

Pengukuran MD untuk data tidak berkelompok dapat dilakukan dengan menggunakan rumus:
  

MD = Rata-rata simpangan
IxI  = selisih X dari M ( dalam harga mutlak)
N    = jumlah frekuensi


Sementara, untuk data berkelompok, pengukuran MD dapat dilakukan menggunakan tahapan berikut ini:
  • Hitung Mean
  • Mengisi kolom x dengan cara X – Mean (dengan mengabaikan tanda negatif ).
  • Mengisi kolom fx
  • Menjumlahkan isi kolom fx (fx ≈ Σ ΙxΙ)
  • Membagi jumlah isi kolom fx dengan n.

CONTOH:


  1. Simpang baku (standard deviation atau SD)
SD adalah nilai tunggal yang mewakili semua perbedaan individual yang dihitung berdasarkan penyimpangan individu-individu dari nilai rata-rata mereka. SD memberikan informasi tentang posisi suatu skor dengan melihat penyimpangannya dari nilai rata-rata. SD adalah fungsi akar dari simpangan dari rata-rata (sample variance atau S2). Rumus umum pengukuran simpang baku yaitu:

         SD = Ö [(å x2)/N]
      
Untuk pengukuran SD pada data berkelompok dalam tabel distribusi frekuensi, dapat dilakukan dengan menggunakan rumus:

         SD = Ö [(å f(x2))/N]

Langkah-langkah penrhitungan SD dengan data berkelompok:
  • Hitung simpangan setiap skor dari nilai rata-ratanya : x = X - X
  • Kuadratkan semua simpangan : x2
  • Jumlahkan semua x2 : S x2
            Jika data dalam distribusi frekuensi, kalikan x2 dengan f baru dijumlahkan : S (f(x2))
  • Bagi jumlah ini dengan N : (S x2)/N atau (S (f(x2))/N
  • Tarik akar : Ö[(S x2)/N] atau Ö[(S (f(x2))/N]

CONTOH:
X f fX x fx Fx2
9 2 18 2,5 5 12,50
8 7 56 1,5 10,5 15,75
7 12 84 0,5 6 3,00
6 10 60 -0,5 -5 2,50
5 6 30 -1,5 -9 13,50
4 3 12 -2,5 -7,5 18,75
Σ 40 260 43 66


  1. Simpangan Baku Gabungan

Simpang baku dari beberapa distribusi yang digabungkan:

Sgab = Ö [ N1 (S12 + d12) + N2 (S22 + d22)]/N

S1 & S2 = simpang baku dari distribusi 1 dan 2
d1 & d2 = X1 – X gabungan, X2 – X gabungan
N1 & N2 = jumlah individu dalam distribusi 1 dan 2
N = N1 + N2

KAPAN MENGGUNAKAN JT, Q DAN SD?

Pengukuran Jangkauan Total (JT) digunakan untuk menunjukkan variabilitas jika data yang ada  terlalu sedikit atau terlalu terpencar; atau jika yang ingin diketahui hanya nilai (score) maksimum dan minimum dari distribusi.

Pengukuran Q digunakan jika median dipakai sebagai ukuran pemusatan; ada skor-skor yang terlalu ekstrim sehingga S akan memberikan gambaran yang menyesatkan; atau jika kasus-kasus di sekitar median dipentingkan.

Simpang baku (SD) digunakan bila diinginkan ukuran variabilitas yang paling stabil atau dapat diandalkan; bila diperlukan analisis statistik lebih lanjut; atau jika ingin membandingkan dua distribusi frekuensi.

VARIANS

Varians adalah kuadrat dari simpangan baku (SD2).  Jadi kalau dari contoh pengukuran SD di atas, diperoleh SD = 1,285, maka variannya = SD2 = 1,2852 = 1,65. Namun, jika harga SD belum dihitung, maka varian dihitung dengan rumus sebagai berikut:


atau


NILAI BAKU (Z SCORE)

Nilai baku adalah angka yang menunjukkan seberapa jauh suatu nilai (X) menyimpang dari rata-ratanya dalam satuan SD, merupakan indeks durasi suatu nilai. Nilai baku dapat dihitung dengan menggunakan rumus:


Z = Nilai baku                      
X = Suatu nilai (skor)
M = Rata - rata
SD = Simpangan baku

Perbedaannya dengan R dan SD, bahwa Z-score tidak lagi menggunakan angka kasar dan satuan pengukurannya, melainkan dalam satuan SD.

CONTOH:
Si A mendapatkan nilai matematika 50. Rata-rata kelompoknya adalah 40 dan SD = 5.
Maka nilai baku dari si A tersebut adalah :


KOEFISIEN VARIANS

Beberapa ukuran variabilitas yang telah dibahas di depan kesemuanya merupakan ukuran variasi absolut, hanya dapat untuk melihat penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu himpunan data, dan tidak dapat digunakan untuk membandingkan beberapa himpunan data. Koefisien variasi (V) merupakan ukuran variasi yang bersifat relatif yang dapat digunakan untuk memperbandingkan beberapa himpunan data yang berbeda.

Koefisien varians dipakai jika hendak membandingkan S dari dua distribusi frekuensi yang tidak mempunyai satuan pengukuran yang sama; tidak mempunyai X yang sama; dan hanya boleh dipakai jika skala pengukuran adalah rasio

Koefisien Varians dapat dihitung menggunakan rumus:


V   = Koefisien variasi
SD = Simpangan baku
M  = Rata-rata


SOAL LATIHAN

Tentukan Q, MD, SD, Varians dan Koefisien Variasi dari data berikut ini:

18 15 22 19 18 17 18 20 17
12 16 16 17 21 23 18 20 21
20 20 15 18 17 19 20 23 22
10 17 19 19 21 20 18 18 24
11 19 31 16 17 15 19 20 18

Sekian artikel tentang Memahami Macam Ukuran Variabilitas dan Cara Menentukannya. Semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka

  • Howell, D.C. 2012. Statistical Method for Psychology.
  • Gravetter, F.J. & Wallnau, L.B. 2009. Statistics for the Behavioral Sciences
  • Nolan, S.A. & Heinzen, T.E, 2012. Statistics for the Behavioral Sciences. Second Edition.